PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · MODUŁ 06
Wykres y = |f(x)| oraz y = f(|x|)
Wartość bezwzględna potrafi odbić dół wykresu do góry.
Wprowadzenie
W poprzednich modułach zmienialiśmy wykres przez odbicia, przesunięcia i mnożenie. Teraz poznasz dwa przekształcenia, które wyglądają podobnie, ale robią zupełnie co innego: y = |f(x)| oraz y = f(|x|). Różnią się miejscem, w którym stoją kreski wartości bezwzględnej.
Pierwszy zapis, y = |f(x)|, bierze gotowy wynik funkcji i zamienia go na nieujemny. Mówiąc obrazowo: wszystko, co znalazło się pod osią OX, odbija się do góry. To, co było nad osią, zostaje bez zmian.
Drugi zapis, y = f(|x|), działa na argument. Najpierw zamieniamy x na |x|, a dopiero potem liczymy funkcję. Dla x ≥ 0 nic się nie zmienia, bo |x| = x. Dla x < 0 bierzemy wartość dodatnią, więc lewa strona wykresu staje się lustrzanym odbiciem prawej.
y = |f(x)| — zmieniamy wynik funkcji, czyli y.
y = f(|x|) — zmieniamy argument, czyli x.
Pierwsze odbija dół do góry. Drugie odbija prawą stronę na lewo.
W y = |f(x)| kreski obejmują całą funkcję: |f(x)|. W y = f(|x|) kreski obejmują tylko x: f(|x|). Ta różnica w zapisie decyduje o wszystkim.
Najważniejsza własność
Wykres y = |f(x)|. Rysujemy najpierw zwykły wykres f. Następnie każde miejsce, w którym wykres leży pod osią OX, odbijamy symetrycznie do góry. Miejsca nad osią i na osi zostają. Dlatego nowy wykres nigdy nie schodzi pod oś OX.
Wykres y = f(|x|). Rysujemy część wykresu f dla x ≥ 0, czyli prawą stronę. Tę część zostawiamy, a następnie odbijamy ją lustrzanie względem osi OY na lewą stronę. Lewa strona wykresu f nie jest w ogóle używana. Nowy wykres jest zawsze symetryczny względem osi OY.
y = |f(x)|: części pod osią OX → odbicie do góry.
y = f(|x|): część dla x ≥ 0 → odbicie na lewą stronę.
W obu przypadkach punkty na osi OX zostają na miejscu.
Na rysunku po lewej mamy y = |x² − 4|. Parabola x² − 4 ma wierzchołek (0, −4) i przecina oś OX w punktach (−2, 0) oraz (2, 0). Część pod osią, czyli między −2 i 2, została odbita do góry. Wierzchołek (0, −4) przeszedł na (0, 4).
Po prawej mamy y = (|x|)² − 4. Ponieważ |x|² = x², ten wzór to po prostu x² − 4. Wykres jest identyczny z wyjściowym, bo parabola x² − 4 jest już symetryczna względem osi OY. To nie błąd: dla funkcji parzystych f(|x|) = f(x). Funkcję, której wykres jest symetryczny względem osi OY, nazywamy parzystą.
| x | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = x − 2 | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
| |f(x)| = |x − 2| | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 |
| f(|x|) = |x| − 2 | 1 | 0 | −1 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Tabela bierze prostą f(x) = x − 2, bo nie jest ona symetryczna i różnica jest od razu widoczna. Wiersz |x − 2| nigdy nie jest ujemny — dół został odbity do góry. Wiersz |x| − 2 jest symetryczny względem x = 0 i nadal ma wartości ujemne, bo odbicie dotyczyło argumentu, a nie wyniku.
Dla f(x) = x² albo f(x) = |x| oba wykresy mogą wyglądać identycznie, bo te funkcje są już symetryczne względem OY. Nie wyciągaj z tego wniosku, że |f(x)| = f(|x|) zawsze. Dla f(x) = x − 2 otrzymujemy dwa różne wykresy: |x − 2| to litera V z wierzchołkiem (2, 0), a |x| − 2 to litera V z wierzchołkiem (0, −2).
W y = f(|x|) nie wolno opuszczać kresek „po cichu”. |−3| = 3, więc f(|−3|) = f(3), a nie f(−3). To właśnie dlatego lewa strona wykresu powstaje z prawej, a nie z lewej.
Przykłady
Opisz wykres y = x² − 4, a następnie wykres y = |x² − 4|. Podaj miejsca zerowe i najwyższy punkt środkowej części nowego wykresu.
- Zaczynamy od f(x) = x² − 4. To parabola z wierzchołkiem (0, −4), przecinająca oś OX w x = −2 i x = 2.
- Między −2 i 2 parabola leży pod osią OX, bo wtedy x² < 4.
- Odbijamy tę część do góry. Punkty (−2, 0) i (2, 0) zostają, a wierzchołek (0, −4) przechodzi na (0, 4).
- Na zewnątrz przedziału od −2 do 2 wykres był nad osią, więc zostaje bez zmian.
Odpowiedź: y = |x² − 4| ma miejsca zerowe −2 i 2 oraz najwyższy punkt (0, 4). Kształt przypomina literę W: dwa ramiona w górę i środkowe wzniesienie do 4.
Zapisz wzór y = f(|x|) dla f(x) = x² − 4 i opisz, jak wygląda wykres. Czy różni się od wykresu y = x² − 4?
- W miejsce x wstawiamy |x|: y = (|x|)² − 4.
- Korzystamy z własności |x|² = x².
- Otrzymujemy y = x² − 4, czyli dokładnie wyjściową funkcję.
- Sprawdzenie: dla x = −3 mamy f(|−3|) = f(3) = 9 − 4 = 5. Wyjściowa funkcja też daje f(−3) = 9 − 4 = 5.
Odpowiedź: y = x² − 4. Wykres się nie zmienia, bo parabola jest symetryczna względem osi OY. Odbicie prawej strony na lewo trafia dokładnie na lewą stronę, która już tam była.
Opisz wykres y = x − 2, a następnie y = |x − 2|. Podaj wierzchołek i miejsca zerowe.
- Prosta y = x − 2 przecina oś OX w punkcie (2, 0).
- Dla x < 2 wartości są ujemne, więc ta część leży pod osią OX.
- Odbijamy ją do góry. Punkt (0, −2) przechodzi na (0, 2), a punkt (−1, −3) na (−1, 3).
- Dla x ≥ 2 wykres zostaje bez zmian, np. punkt (3, 1) nadal leży na wykresie.
Odpowiedź: y = |x − 2| to litera V z wierzchołkiem (2, 0) i ramionami w górę. Miejsce zerowe jest tylko jedno: x = 2.
To dwa różne wykresy. |x − 2| najpierw przesuwa x o 2 w prawo, a potem bierze wartość bezwzględną — wierzchołek jest w (2, 0). |x| − 2 najpierw zamienia x na |x|, czyli odbija prawą stronę na lewo, a potem obniża całość o 2 — wierzchołek jest w (0, −2). Kolejność działań ma znaczenie.
Spróbuj samodzielnie
Funkcja f(x) = x² − 1. Podaj wzór y = |f(x)|, miejsca zerowe i najwyższy punkt środkowej części nowego wykresu.
Pokaż rozwiązanie
y = |x² − 1|. Parabola x² − 1 ma miejsca zerowe −1 i 1 oraz wierzchołek (0, −1). Część między −1 i 1 leży pod osią OX, więc odbijamy ją do góry: punkt (0, −1) przechodzi na (0, 1). Miejsca zerowe −1 i 1 zostają, bo leżą na osi. Nowy wykres nigdy nie jest ujemny.Funkcja f(x) = x − 3. Podaj wzór y = f(|x|) i opisz wykres. Porównaj go z wykresem y = |x − 3|.
Pokaż rozwiązanie
y = f(|x|) = |x| − 3. To litera V z wierzchołkiem (0, −3), symetryczna względem osi OY; miejsca zerowe to −3 i 3. Natomiast y = |x − 3| to litera V z wierzchołkiem (3, 0) i jednym miejscem zerowym x = 3. To różne wykresy — w pierwszym odbicie dotyczy argumentu, w drugim całego wyniku.Uczeń oblicza f(|−3|) dla f(x) = x − 2 i pisze: f(|−3|) = f(−3) = −5. Wskaż błąd i podaj poprawny wynik.
Pokaż rozwiązanie
|−3| = 3, więc f(|−3|) = f(3) = 3 − 2 = 1, a nie f(−3). Uczeń opuścił kreski wartości bezwzględnej i wstawił −3 zamiast 3. Poprawny wynik to 1.Wyjaśnij, dlaczego dla f(x) = x² − 4 wykresy y = |f(x)| i y = f(|x|) są różne, mimo że f(|x|) = f(x). Podaj funkcję, dla której oba wykresy są identyczne.
Pokaż rozwiązanie
Dla f(x) = x² − 4 mamy f(|x|) = |x|² − 4 = x² − 4 = f(x), bo funkcja jest parzysta. Wykres f(|x|) jest więc taki sam jak wyjściowy. Ale |f(x)| = |x² − 4| odbija do góry część leżącą pod osią OX, więc daje literę W. To różne wykresy. Identyczne są np. dla f(x) = x², bo |x²| = x² = (|x|)².
y = |f(x)| odbija do góry części wykresu leżące pod osią OX — zmienia wynik funkcji. y = f(|x|) zostawia prawą stronę i odbija ją na lewo względem osi OY — zmienia argument. Po |f(x)| wykres nigdy nie schodzi pod oś OX, a po f(|x|) jest zawsze symetryczny względem osi OY.