PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · MODUŁ 02
Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OX
Przesunięcie w poziomie zmienia tylko x. Uważaj na znak w nawiasie.
Wprowadzenie
W poprzednim module przesuwaliśmy pojedyncze punkty o wektor. Teraz przesuniemy cały wykres funkcji wzdłuż poziomej osi x — w prawo albo w lewo.
Weź wykres funkcji f. Nowy wykres opisuje wzór g(x) = f(x − p). Liczba p mówi, o ile przesunąć wykres w poziomie.
Tu jest pułapka: p dodatnie przesuwa wykres w prawo, a p ujemne w lewo. To odwrotnie, niż podpowiada znak we wzorze. Dlatego y = (x − 2)² to przesunięcie w prawo o 2, a y = (x + 3)² to przesunięcie w lewo o 3.
Wyobraź sobie, że cały wykres leży na sztywnej blasze. Przesuwasz blachę po stole w bok. Kształt się nie zmienia, zmienia się tylko położenie względem osi y.
W poziomie znak działa „na opak”: minus w nawiasie → w prawo, plus w nawiasie → w lewo.
Najważniejsza własność
Przy przesunięciu wzdłuż osi OX każdy punkt wykresu zmienia tylko pierwszą współrzędną:
g(x) = f(x − p)
punkt (x, y) → (x + p, y)
Jeśli p = 2, każdy punkt idzie o 2 w prawo. Jeśli p = −3, każdy punkt idzie o 3 w lewo. Gdy p = 0, wykres zostaje w miejscu. Współrzędna y cały czas zostaje bez zmian.
Dlaczego tak jest? Popatrz na wierzchołek y = x², czyli punkt (0, 0). We wzorze y = (x − 2)² wierzchołek jest tam, gdzie x − 2 = 0, czyli x = 2. Dlatego (0, 0) przechodzi na (2, 0).
| Zapis | Co się zmienia | Przesunięcie |
|---|---|---|
| f(x) + q | y | q > 0 — w górę, q < 0 — w dół |
| f(x − p) | x | p > 0 — w prawo, p < 0 — w lewo |
W pionie znak działa wprost: +q to w górę, −q to w dół. W poziomie jest odwrotnie: x − p to w prawo, x + p to w lewo.
y = x² − 2 to przesunięcie w dół, a y = (x − 2)² to przesunięcie w prawo. Położenie nawiasu zmienia wszystko.
Zobacz to na żywo. Klikaj strzałki w lewo i w prawo. Wzór i wykres zmieniają się razem. Strzałki w górę i w dół pokazują dla porównania przesunięcie pionowe.
Klikaj ← i →, żeby przesuwać wykres w poziomie. Strzałki ↑ i ↓ pokazują przesunięcie pionowe — porównaj oba.
Przykłady
Wykres funkcji y = x² przesuwamy o 2 jednostki w prawo. Podaj wzór nowej funkcji i położenie wierzchołka.
Wykres bazowy y = x² (przerywany) i przesunięty y = (x − 2)² (ciągły). Wierzchołek przechodzi z (0, 0) do (2, 0).
- Przesunięcie w prawo o 2 oznacza p = 2.
- We wzorze zastępujemy x przez (x − 2): y = (x − 2)².
- Wierzchołek (0, 0) przesuwa się o 2 w prawo, więc nowy wierzchołek to (2, 0).
- Sprawdzenie: dla x = 2 nowy wzór daje (2 − 2)² = 0. To zgadza się z nowym wierzchołkiem.
Odpowiedź: y = (x − 2)²; wierzchołek (2, 0).
Wykres funkcji y = |x| przesuwamy o 3 jednostki w lewo. Podaj wzór nowej funkcji i położenie wierzchołka.
Wykres bazowy y = |x| (przerywany) i przesunięty y = |x + 3| (ciągły). Wierzchołek przechodzi z (0, 0) do (−3, 0).
- Przesunięcie w lewo o 3 oznacza p = −3.
- Zastępujemy x przez (x − (−3)), czyli przez (x + 3): y = |x + 3|.
- Wierzchołek (0, 0) przesuwa się o 3 w lewo, więc nowy wierzchołek to (−3, 0).
- Sprawdzenie: dla x = −3 nowy wzór daje |−3 + 3| = 0. Zgadza się.
Odpowiedź: y = |x + 3|; wierzchołek (−3, 0).
Wykres funkcji y = x² przesuwamy o 1 jednostkę w lewo i 4 jednostki w dół. Podaj wzór nowej funkcji i położenie wierzchołka.
Wykres bazowy y = x² (przerywany) i przekształcony y = (x + 1)² − 4 (ciągły). Wierzchołek przechodzi z (0, 0) do (−1, −4).
- Przesunięcie w lewo o 1 oznacza p = −1. W poziomie: y = (x + 1)².
- Przesunięcie w dół o 4 oznacza q = −4. Odejmujemy 4 od całej wartości: y = (x + 1)² − 4.
- Wierzchołek (0, 0) idzie o 1 w lewo i 4 w dół, więc nowy wierzchołek to (−1, −4).
- Sprawdzenie: dla x = −1 nowy wzór daje (−1 + 1)² − 4 = −4. Zgadza się.
Odpowiedź: y = (x + 1)² − 4; wierzchołek (−1, −4).
Spróbuj samodzielnie
Wykres funkcji y = x² przesuń o 3 jednostki w prawo. Podaj wzór nowej funkcji i współrzędne wierzchołka.
Pokaż rozwiązanie
Przesunięcie w prawo o 3 oznacza p = 3. Zastępujemy x przez (x − 3): y = (x − 3)². Wierzchołek (0, 0) przechodzi na (3, 0).Opisz słowami, jak powstał wykres y = |x − 5| z wykresu y = |x|. Podaj współrzędne nowego wierzchołka.
Pokaż rozwiązanie
We wzorze jest x − 5, czyli p = 5. Dodatnie p przesuwa wykres w prawo. Wykres y = |x| przesunięto o 5 jednostek w prawo, więc wierzchołek (0, 0) przechodzi na (5, 0).Uczeń twierdzi: „Wykres y = (x + 2)² powstaje przez przesunięcie y = x² o 2 jednostki w prawo”. Wskaż błąd i podaj poprawny opis.
Pokaż rozwiązanie
Plus w nawiasie oznacza przesunięcie w lewo, a nie w prawo. Wykres y = (x + 2)² powstaje przez przesunięcie y = x² o 2 jednostki w lewo. Przesunięcie w prawo o 2 dawałoby y = (x − 2)².Wykres funkcji y = x² przesuń o 2 jednostki w lewo i 3 jednostki w górę. Podaj wzór nowej funkcji.
Pokaż rozwiązanie
W lewo o 2: y = (x + 2)². W górę o 3: dodajemy 3 do całej wartości, więc y = (x + 2)² + 3. Wierzchołek (0, 0) przechodzi na (−2, 3).
Przesunięcie poziome opisuje wzór g(x) = f(x − p). Punkt (x, y) przechodzi na (x + p, y). Gdy p jest dodatnie, wykres idzie w prawo; gdy p jest ujemne — w lewo. Minus w nawiasie daje ruch w prawo, plus — w lewo. W pionie jest odwrotnie: f(x) + q, gdzie +q to w górę, a −q to w dół.