PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · MODUŁ 05
Symetria środkowa względem punktu (0,0)
Symetria środkowa to jednoczesne odbicie względem OX i OY.
Wprowadzenie
Wyobraź sobie, że w kartce z wykresem przebijasz pinezkę dokładnie w punkcie (0, 0) i obracasz kartkę o 180 stopni. Każdy punkt wykresu przeskakuje na przeciwną stronę początku układu, w tej samej odległości od niego. To jest symetria środkowa względem punktu (0, 0).
Popatrz na konkretny punkt. Punkt (3, 1) leży trzy jednostki w prawo i jedną w górę od początku. Po obrocie o 180 stopni znajdzie się trzy jednostki w lewo i jedną w dół, czyli w punkcie (−3, −1). Zmieniają się obie współrzędne: x na przeciwny i y na przeciwny.
(x, y) → (−x, −y)
Początek układu (0, 0) jest środkiem odcinka łączącego punkt z jego obrazem.
Dla wykresu funkcji zapisujemy to wzorem y = −f(−x). Najpierw w miejsce x wstawiamy −x, a potem cały wynik mnożymy przez −1. Brzmi prosto, ale właśnie w tej kolejności uczniowie najczęściej popełniają błąd, więc rozłożymy ją na dwa osobne odbicia.
Symetria środkowa względem (0, 0) to nie to samo co jedno odbicie. Odbicie względem OX zmienia tylko y, odbicie względem OY tylko x. Tutaj zmieniają się obie współrzędne naraz.
Najważniejsza własność
Symetrię środkową względem (0, 0) można zrobić w dwóch krokach. To złożenie odbicia względem osi OX i odbicia względem osi OY.
y = −f(−x)
Krok 1 (OX): y = f(x) → y = −f(x). Krok 2 (OY): y = −f(x) → y = −f(−x).
Każdy punkt: (x, y) → (−x, −y).
Sprawdźmy, że kolejność rzeczywiście nie ma znaczenia. Najpierw OY, potem OX:
y = f(x) → y = f(−x) → y = −f(−x).
Najpierw OX, potem OY:
y = f(x) → y = −f(x) → y = −f(−x).
W obu przypadkach dochodzimy do tego samego wzoru. Dwa odbicia dają obrót o 180 stopni, a obrót nie zależy od tego, w którą stronę go kręcimy.
Przy odbiciu względem OX zmieniamy znak y. Przy odbiciu względem OY zmieniamy znak x. Po dwóch odbiciach zmienione są oba znaki, czyli (x, y) przechodzi na (−x, −y). To jest dokładnie symetria środkowa względem (0, 0).
Na rysunku widać to na prostej y = x − 2. Punkt (4, 2) przechodzi na (−4, −2), a odcinek między nimi przechodzi przez początek układu. Obrazem prostej jest prosta y = x + 2 — równoległa, ale po drugiej stronie początku układu.
| Punkt wyjściowy | Odbicie OX: (x, −y) | Odbicie OY: (−x, y) | Symetria środkowa: (−x, −y) |
|---|---|---|---|
| (4, 2) | (4, −2) | (−4, 2) | (−4, −2) |
| (2, 0) | (2, 0) | (−2, 0) | (−2, 0) |
| (0, −2) | (0, 2) | (0, −2) | (0, 2) |
Popatrz na drugi wiersz. Punkt (2, 0) leży na osi OX, więc odbicie względem OX nic z nim nie robi. Ale symetria środkowa przenosi go na (−2, 0). Trzeci wiersz pokazuje sytuację odwrotną: punkt (0, −2) leży na osi OY, więc odbicie względem OY go nie rusza, a symetria środkowa przenosi go na (0, 2).
W symetrii środkowej względem (0, 0) jedynym punktem, który zostaje na miejscu, jest sam początek układu. Rzeczywiście, (x, y) = (−x, −y) tylko wtedy, gdy x = 0 i y = 0.
Przy liczeniu −f(−x) najpierw porządkujesz wnętrze nawiasu, a dopiero potem zmieniasz znak całości. Dla f(x) = x − 2 mamy f(−x) = −x − 2, a więc −f(−x) = −(−x − 2) = x + 2. Minus przed nawiasem zmienia znak obu składników, nie tylko pierwszego.
Oba suwaki są już ustawione na −1. Na wykresie jest funkcja f(x) = x + 1 — celowo nie parabola, żeby oba odbicia były widoczne. Wzór pod wykresem pokaże −(−x + 1), czyli x − 1. Punkt (0, 1) przechodzi na (0, −1), a cała prosta obraca się o 180 stopni wokół początku układu.
Na wykresie f(x) = x + 1. Ustaw a = −1 i k = −1: otrzymasz −(−x + 1) = x − 1, czyli symetrię środkową względem (0, 0).
Dla samej paraboli ustawienie tylko k = −1 nic nie zmienia, bo (−x)² = x². Dopiero oba minusy razem dają −x². Dlatego w demonstracji użyliśmy prostej y = x + 1: tutaj każdy z minusów jest widoczny osobno, a oba razem dają symetrię środkową.
Wzór y = −f(−x) ma dwa minusy: jeden przed funkcją i jeden przy x. Jeśli zostawisz tylko jeden z nich, otrzymasz zwykłe odbicie względem OX albo OY, a nie symetrię środkową. Dla paraboli x² i funkcji |x| różnica bywa niewidoczna, ale dla prostej x − 2 jest ogromna.
Przykłady
Znajdź wzór wykresu y = x² po symetrii środkowej względem punktu (0, 0). Podaj obrazy punktów (0, 0), (1, 1) i (2, 4).
Obrót o 180° wokół (0, 0): parabola y = x² przechodzi w y = −x².
- Stosujemy wzór g(x) = −f(−x), gdzie f(x) = x².
- Wstawiamy −x w miejsce x: f(−x) = (−x)².
- Upraszczamy: (−x)² = x², bo iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni.
- Zmieniamy znak całości: g(x) = −x².
- Punkty: (0, 0) → (0, 0); (1, 1) → (−1, −1); (2, 4) → (−2, −4).
Odpowiedź: y = −x². Wierzchołek zostaje w (0, 0), a ramiona są skierowane w dół.
W tym przykładzie drugie odbicie nie zmieniło rysunku, bo parabola jest symetryczna względem osi OY. Uwaga: y = −x² to także wynik zwykłego odbicia względem OX. Ta zbieżność nie znaczy, że wzory są zawsze takie same — przykład 3 pokaże różnicę.
Zapisz wzór wykresu y = |x| po symetrii środkowej względem (0, 0). Sprawdź punkty (2, 2) i (−3, 3).
Obrót o 180° wokół (0, 0): y = |x| przechodzi w y = −|x|.
- Stosujemy wzór g(x) = −f(−x), więc g(x) = −|−x|.
- Korzystamy z tego, że |−x| = |x|. Wartość bezwzględna ignoruje znak.
- Otrzymujemy g(x) = −|x|.
- Punkty: (2, 2) → (−2, −2); (−3, 3) → (3, −3); (0, 0) → (0, 0).
Odpowiedź: y = −|x|. To ramiona „V” odwrócone do dołu. Podobnie jak w przykładzie 1, wewnętrzne odbicie nie zmieniło kształtu, bo |x| jest symetryczne względem OY.
Znajdź obraz wykresu y = x − 2 w symetrii środkowej względem (0, 0). Tym razem uprość wzór i sprawdź trzy punkty.
- f(x) = x − 2, więc f(−x) = −x − 2.
- g(x) = −f(−x) = −(−x − 2).
- Opuszczamy nawias: −(−x) = x oraz −(−2) = 2, więc g(x) = x + 2.
- Sprawdzenie punktów: (0, −2) → (0, 2); (2, 0) → (−2, 0); (4, 2) → (−4, −2).
- Wszystkie trzy obrazy leżą na prostej y = x + 2: 0 + 2 = 2, −2 + 2 = 0, −4 + 2 = −2.
Odpowiedź: y = x + 2. To prosta równoległa do y = x − 2, przesunięta na drugą stronę początku układu.
| Przekształcenie | Wzór | Obraz prostej y = x − 2 |
|---|---|---|
| Odbicie względem OX | y = −f(x) | y = −x + 2 |
| Odbicie względem OY | y = f(−x) | y = −x − 2 |
| Symetria środkowa względem (0, 0) | y = −f(−x) | y = x + 2 |
Trzy różne przekształcenia, trzy różne proste. Tylko ostatni wiersz to symetria środkowa. Pierwsze dwa to pojedyncze odbicia — one zmieniają znak tylko jednej współrzędnej.
Gdy nie jesteś pewien, które przekształcenie masz przed sobą, weź jeden punkt i prześledź obie współrzędne. Dla (2, 0): OX daje (2, 0), OY daje (−2, 0), a symetria środkowa daje (−2, 0). Dopiero punkt spoza osi, np. (4, 2), pokazuje różnicę między OY a symetrią środkową: (−4, 2) kontra (−4, −2).
Spróbuj samodzielnie
Funkcja f(x) = x² + 1. Podaj wzór jej obrazu w symetrii środkowej względem (0, 0). Oblicz obrazy punktów (0, 1) i (2, 5).
Pokaż rozwiązanie
g(x) = −f(−x) = −((−x)² + 1) = −(x² + 1) = −x² − 1. Punkt (0, 1) przechodzi na (0, −1), a (2, 5) na (−2, −5). Sprawdzenie: g(0) = −1 oraz g(−2) = −4 − 1 = −5.Wykaż, że wykres y = x + 2 jest obrazem wykresu y = x − 2 w symetrii środkowej względem (0, 0). Sprawdź dwa punkty.
Pokaż rozwiązanie
Dla f(x) = x − 2 mamy f(−x) = −x − 2, więc −f(−x) = −(−x − 2) = x + 2. To właśnie wzór y = x + 2. Punkt (2, 0) przechodzi na (−2, 0), a punkt (4, 2) na (−4, −2). Oba obrazy spełniają y = x + 2: −2 + 2 = 0 oraz −4 + 2 = −2. Proste są równoległe, bo mają ten sam współczynnik kierunkowy 1.Uczeń oblicza: −(−x − 2) = −x + 2. Wskaż błąd i podaj poprawny wynik. Wyjaśnij, dlaczego trzeba zmienić znak obu składników.
Pokaż rozwiązanie
Minus przed nawiasem odwraca znak każdego składnika w nawiasie. Z −x robi się x, a z −2 robi się 2. Poprawny wynik to x + 2. Uczeń zmienił znak tylko przy liczbie 2, a zostawił minus przy x, dlatego otrzymał −x + 2.Porównaj obraz prostej y = x − 2 w odbiciu względem OX i w symetrii środkowej względem (0, 0). Podaj oba wzory i wskaż punkt, dla którego obrazy są różne.
Pokaż rozwiązanie
Odbicie względem OX: y = −f(x) = −(x − 2) = −x + 2. Symetria środkowa: y = −f(−x) = x + 2. Dla punktu (4, 2) odbicie OX daje (4, −2), a symetria środkowa daje (−4, −2). Widać różnicę: pierwsze przekształcenie zmienia tylko znak y, drugie zmienia znak obu współrzędnych.
Symetria środkowa względem (0, 0) to obrót o 180 stopni: (x, y) → (−x, −y). Wzór to y = −f(−x), czyli złożenie odbicia względem OX i odbicia względem OY — kolejność nie ma znaczenia. Uważaj na nawiasy: −(−x − 2) = x + 2, a nie −x + 2.