PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · MODUŁ 04
Symetria osiowa względem osi OX i OY
Dwa minusy w dwóch różnych miejscach dają dwa różne odbicia.
Wprowadzenie
Wyobraź sobie, że wykres odbija się w lustrze. W tym module poznasz dwa lustra: oś OX, czyli poziomą oś układu, oraz oś OY, czyli pionową oś. Taki rodzaj symetrii nazywamy symetrią osiową. Odbicie nie jest przesunięciem — wykres nie jedzie w bok ani w górę, tylko odwraca się na drugą stronę osi.
Pierwsze lustro to oś OX. Gdy we wzorze przed całą funkcją stoi minus, czyli y = −f(x), każdy punkt (x, y) zamienia się na (x, −y). To, co było nad osią OX, przechodzi pod nią, a to, co było pod nią, wychodzi nad nią.
Drugie lustro to oś OY. Gdy minus stoi przy samym x, czyli y = f(−x), każdy punkt (x, y) zamienia się na (−x, y). Prawa strona wykresu przeskakuje na lewo, a lewa na prawo.
| Punkt wyjściowy | Odbicie względem OX: (x, −y) | Odbicie względem OY: (−x, y) |
|---|---|---|
| (2, 3) | (2, −3) | (−2, 3) |
| (−1, 2) | (−1, −2) | (1, 2) |
| (3, 0) | (3, 0) | (−3, 0) |
Zauważ ostatni wiersz. Punkt leżący na osi OX nie zmienia położenia przy odbiciu względem OX. Podobnie punkt na osi OY nie ruszy się przy odbiciu względem OY.
Najważniejsza własność
Cała różnica między dwoma odbiciami tkwi w miejscu minusa. Minus przed funkcją działa na y. Minus przy x działa na x.
y = −f(x) → odbicie względem osi OX: (x, y) → (x, −y).
y = f(−x) → odbicie względem osi OY: (x, y) → (−x, y).
| Odbicie | Wzór | Co się zmienia? | Kierunek |
|---|---|---|---|
| względem OX | y = −f(x) | znak y | góra–dół |
| względem OY | y = f(−x) | znak x | lewo–prawo |
Minus „na zewnątrz”, czyli −f(x), zmienia y — więc odbija względem poziomej osi OX. Minus „w środku”, czyli f(−x), zmienia x — więc odbija względem pionowej osi OY.
y = −(x − 1)² to odbicie względem OX. Natomiast y = (−x − 1)² to odbicie względem OY. To dwa różne wykresy. W drugim wzorze minus jest przy x, mimo że w nawiasie są jeszcze inne liczby.
Teraz użyj suwaków w demonstracji. Na wykresie jest funkcja f(x) = x + 1 — celowo nie parabola, żeby odbicie względem OY było widoczne. Ustaw a = −1: wzór zmieni się na −(x + 1), a prosta odbije się względem OX. Potem wróć do a = 1 i ustaw k = −1. Wzór pokaże (−x + 1), czyli odbicie względem OY. To dwa różne wykresy.
Ustaw a = −1 (odbicie względem OX) albo k = −1 (odbicie względem OY). Na wykresie f(x) = x + 1.
Do samego odbicia ustawiaj a = −1 albo k = −1. Inne wartości suwaków dodatkowo rozciągają lub ściskają wykres, więc nie pokazują czystego odbicia. Przy funkcjach symetrycznych względem OY, na przykład y = x², odbicie k = −1 nic nie zmienia — dlatego w demonstracji użyliśmy y = x + 1.
Przy odbiciu względem OX punkt na osi OX nie zmienia się, bo jego y = 0, a −0 = 0. Przy odbiciu względem OY punkt na osi OY nie zmienia się, bo jego x = 0, a −0 = 0.
Przykłady
Opisz, jak z wykresu y = x² powstaje wykres y = −x². Podaj kilka punktów nowego wykresu.
Wykres bazowy y = x² (przerywany) i przekształcony y = −x² (ciągły).
- Minus stoi przed całą funkcją, więc odbijamy względem osi OX.
- Każdy punkt (x, y) zmienia się na (x, −y).
- Punkt (0, 0) zostaje na miejscu: (0, −0) = (0, 0). Punkt (1, 1) przechodzi na (1, −1), a punkt (2, 4) na (2, −4).
- Parabola miała ramiona w górę, a teraz ma ramiona w dół. Wierzchołek nadal jest w (0, 0).
Odpowiedź: y = −x² to odbicie y = x² względem OX; wierzchołek (0, 0), ramiona w dół.
Porównaj wykresy y = x² i y = (−x)². Czy odbicie względem OY coś zmienia?
Wykresy y = x² i y = (−x)² pokrywają się, bo parabola jest symetryczna względem osi OY.
- Minus jest przy x, więc odbijamy względem osi OY.
- Każdy punkt (x, y) przechodzi na (−x, y). Na przykład (2, 4) przechodzi na (−2, 4), a (−2, 4) na (2, 4).
- Uprość wzór: (−x)² = (−x) · (−x) = x². Oba wzory są więc równoważne.
- Sprawdzenie: dla x = 3 mamy 3² = 9 oraz (−3)² = 9. Dla x = −3 też otrzymujemy 9.
Odpowiedź: y = (−x)² = x². Odbicie względem OY nie zmienia wykresu paraboli, bo jest ona symetryczna względem tej osi.
Opisz, jak z wykresu y = (x − 1)² powstaje wykres y = (−x − 1)². Podaj wierzchołek nowej paraboli i uprość wzór.
- Oznaczmy f(x) = (x − 1)². Wierzchołek tej paraboli to (1, 0), a ramiona są skierowane w górę.
- Wzór y = (−x − 1)² to f(−x), bo w miejsce x wstawiamy −x. Kolejność jest ważna: najpierw mamy parabolę przesuniętą o 1 w prawo, a dopiero potem odbijamy ją względem osi OY.
- Uprość: (−x − 1)² = (−(x + 1))² = (x + 1)². Wierzchołek nowej paraboli to (−1, 0).
- Sprawdzenie: punkt (2, 1) na starej paraboli przechodzi na (−2, 1). Dla x = −2: (−(−2) − 1)² = (2 − 1)² = 1.
Odpowiedź: y = (−x − 1)² = (x + 1)². To odbicie względem OY, wierzchołek (−1, 0). To nie jest to samo co y = −(x − 1)², czyli odbicie względem OX.
Najczęstsza pomyłka to przypisanie minusa do złej osi. y = −f(x) odbija góra–dół, a y = f(−x) odbija lewo–prawo. Drugi błąd to uznanie, że y = (−x − 1)² i y = −(x − 1)² to ten sam wzór — nie są. W pierwszym minus jest przy x, a w drugim przed całym nawiasem.
Spróbuj samodzielnie
Podaj wzór funkcji, która powstaje z y = x² przez odbicie względem osi OX.
Pokaż rozwiązanie
Odbicie względem OX to y = −f(x). Dla f(x) = x² otrzymujemy y = −x². Wierzchołek zostaje w (0, 0), a ramiona paraboli są skierowane w dół.Podaj wzór po odbiciu wykresu y = |x − 2| względem osi OY.
Pokaż rozwiązanie
Odbicie względem OY to y = f(−x), więc otrzymujemy y = |−x − 2|. Ponieważ |−x − 2| = |−(x + 2)| = |x + 2|, ostatecznie y = |x + 2|. Wierzchołek (2, 0) przechodzi na (−2, 0).Wyjaśnij różnicę między wykresami y = −(x − 1)² oraz y = (−x − 1)². Podaj wierzchołki obu parabol.
Pokaż rozwiązanie
Pierwszy wzór to odbicie względem OX: wierzchołek (1, 0) zostaje na miejscu, a ramiona są skierowane w dół. Drugi wzór to odbicie względem OY: y = (−x − 1)² = (x + 1)², więc wierzchołek przechodzi z (1, 0) na (−1, 0), a ramiona są skierowane w górę.Podaj przykład funkcji, która po odbiciu względem osi OY się nie zmienia. Wyjaśnij dlaczego.
Pokaż rozwiązanie
Na przykład y = x² albo y = |x|. Dla y = x² mamy (−x)² = x², a dla y = |x| mamy |−x| = |x|. Odbicie względem OY nie zmienia wykresu, bo obie funkcje są symetryczne względem tej osi.
Minus przed funkcją, y = −f(x), odbija wykres względem osi OX i zmienia znak y. Minus przy x, y = f(−x), odbija wykres względem osi OY i zmienia znak x. Punkty leżące na osi odbicia nie ruszają się, a funkcje symetryczne względem OY, np. y = x² i y = |x|, po odbiciu wyglądają tak samo.