PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · MODUŁ 09
Zastosowanie wykresów do równań i nierówności
Wykres potrafi odpowiedzieć na pytanie, ile jest rozwiązań i gdzie leżą.
Wprowadzenie
Wykres funkcji to zapis wszystkich par (x, f(x)). Gdy na jednym rysunku umieścimy wykresy y = f(x) i y = g(x), ich wspólne punkty od razu pokazują rozwiązania równania f(x) = g(x).
Jeżeli wykresy przecinają się w punkcie (a, b), to obie funkcje przyjmują w x = a tę samą wartość b. Zapisujemy to krótko: f(a) = g(a) = b. Liczba a jest więc rozwiązaniem równania. Podobnie nierówność f(x) > g(x) odczytujemy z tych fragmentów, na których wykres f leży wyżej niż wykres g.
Na rysunku widać całą ideę. Punkty przecięcia dają rozwiązania równania, a wzajemne położenie wykresów odpowiada na pytanie o nierówność. Wystarczy uważnie odczytać współrzędne iksowe.
Najważniejsza własność
Z wykresu odczytujemy dwa rodzaje informacji. Pierwsza dotyczy równości, druga — nierówności.
- Równanie f(x) = g(x): szukamy punktów przecięcia wykresów. Rozwiązaniem są ich pierwsze współrzędne, czyli iksy.
- Nierówność f(x) > g(x): szukamy przedziałów, w których wykres f jest wyżej niż wykres g. Rozwiązaniem są iksy tych fragmentów.
- Nierówność f(x) < g(x): postępujemy podobnie — wybieramy fragmenty, na których wykres f jest niżej.
f(x) = g(x) ⟺ wykresy y = f(x) i y = g(x) mają punkt wspólny (x, f(x))
f(x) > g(x) ⟺ wykres y = f(x) leży nad wykresem y = g(x)
Gdy po prawej stronie równania stoi liczba, np. f(x) = m, traktujemy ją jako funkcję stałą g(x) = m. Jej wykres to pozioma prosta y = m. Liczba rozwiązań równania jest równa liczbie punktów przecięcia wykresu f z tą prostą.
| Położenie prostej y = m względem paraboli y = x² | Liczba rozwiązań | Rozwiązania |
|---|---|---|
| m < 0 — prosta pod parabolą | 0 | brak |
| m = 0 — prosta styczna w wierzchołku | 1 | x = 0 |
| m > 0 — prosta przecina parabolę | 2 | x = −√m, x = √m |
Dla wykresu y = |x| jest podobnie: gdy m < 0, rozwiązań nie ma; gdy m = 0, jest jedno (x = 0); gdy m > 0, są dwa (x = −m i x = m).
Równanie f(x) = m rozwiązujesz graficznie tak samo jak każde inne: rysujesz prostą y = m i liczysz przecięcia. Gdy prosta leży całkowicie pod wykresem albo całkowicie nad nim, punktów przecięcia nie ma — i równanie nie ma rozwiązań. Nie zakładaj z góry, że rozwiązania istnieją.
Przykłady
Na rysunku z początku lekcji parabola y = x² i prosta y = 2x + 3 przecinają się w punktach (−1, 1) i (3, 9). Odczytaj rozwiązania równania x² = 2x + 3 oraz nierówności x² > 2x + 3.
- Równanie: bierzemy pierwsze współrzędne punktów przecięcia. Otrzymujemy x = −1 oraz x = 3.
- Sprawdzenie: (−1)² = 1 = 2 · (−1) + 3 oraz 3² = 9 = 2 · 3 + 3. Rachunek potwierdza: x² − 2x − 3 = 0, czyli (x − 3)(x + 1) = 0.
- Nierówność: parabola jest wyżej niż prosta na lewo od x = −1 i na prawo od x = 3.
- Zapisujemy wynik: x < −1 lub x > 3, czyli x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, ∞).
Odpowiedź: x = −1 lub x = 3; nierówność x² > 2x + 3 spełniają liczby x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, ∞).
Rozwiąż graficznie: x² − 4 = 0, x² − 4 > 0, x² < 4 oraz |x| = 2.
- x² − 4 = 0 to inaczej x² = 4. Rysujemy y = x² i prostą y = 4. Wykresy przecinają się w punktach (−2, 4) i (2, 4), więc x = −2 lub x = 2.
- x² − 4 > 0 to x² > 4. Parabola leży nad prostą y = 4 dla x < −2 lub x > 2.
- x² < 4. Teraz parabola leży pod prostą y = 4 dla −2 < x < 2.
- |x| = 2. Wykres y = |x| i prosta y = 2 przecinają się dla x = −2 oraz x = 2.
Odpowiedź: x² − 4 = 0: x = −2 lub x = 2; x² − 4 > 0: x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞); x² < 4: x ∈ (−2, 2); |x| = 2: x = −2 lub x = 2.
Rozwiąż graficznie (x − 1)² = 4 oraz |x + 2| = 3.
- Wykres y = (x − 1)² to parabola y = x² przesunięta o 1 jednostkę w prawo. Jej wierzchołek jest w punkcie (1, 0).
- Prosta y = 4 przecina tę parabolę, gdy x − 1 = 2 lub x − 1 = −2. Stąd x = 3 lub x = −1. Punkty przecięcia to (3, 4) i (−1, 4).
- Wykres y = |x + 2| to wykres y = |x| przesunięty o 2 jednostki w lewo. Jego wierzchołek jest w punkcie (−2, 0).
- Prosta y = 3 daje x + 2 = 3 lub x + 2 = −3. Stąd x = 1 lub x = −5. Punkty przecięcia to (1, 3) i (−5, 3).
Odpowiedź: (x − 1)² = 4: x = −1 lub x = 3; |x + 2| = 3: x = −5 lub x = 1.
W równaniu (x − 1)² = 4 przesuwamy parabolę o 1 w prawo, a prosta y = 4 zostaje na miejscu. Dlatego rozwiązania to 3 i −1, a nie 2 i −2. Zawsze ustal, który wykres jest przekształcony, i dopiero potem odczytuj przecięcia.
Spróbuj samodzielnie
W każdym zadaniu możesz najpierw naszkicować wykresy, a potem potwierdzić wynik rachunkiem.
Wykresy y = x² i y = x + 2 przecinają się w dwóch punktach. Rozwiąż równanie x² = x + 2 oraz nierówność x² > x + 2.
Pokaż rozwiązanie
Przekształcam równanie: x² − x − 2 = 0, czyli (x − 2)(x + 1) = 0. Stąd x = 2 lub x = −1. Punkty przecięcia to (−1, 1) i (2, 4). Parabola jest wyżej niż prosta na lewo od −1 i na prawo od 2, więc nierówność spełniają x < −1 lub x > 2, czyli x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, ∞).Rozwiąż graficznie: x² − 9 = 0, x² − 9 > 0, x² < 9 oraz |x + 1| = 2.
Pokaż rozwiązanie
x² − 9 = 0 to x² = 9, więc x = −3 lub x = 3. Parabola y = x² leży nad prostą y = 9 dla x < −3 lub x > 3, a pod nią dla −3 < x < 3. Zatem x² − 9 > 0 dla x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, ∞), a x² < 9 dla x ∈ (−3, 3). Równanie |x + 1| = 2 daje x + 1 = 2 lub x + 1 = −2, czyli x = 1 lub x = −3.Ile rozwiązań ma równanie (x + 2)² = m w zależności od m? Podaj rozwiązania w przypadkach, gdy istnieją.
Pokaż rozwiązanie
Wykres y = (x + 2)² to parabola o wierzchołku (−2, 0), skierowana ramionami do góry. Prosta y = m leży pod wierzchołkiem dla m < 0 — wtedy rozwiązań nie ma. Dla m = 0 prosta jest styczna w wierzchołku, więc jest jedno rozwiązanie: x = −2. Dla m > 0 są dwa rozwiązania: x = −2 − √m oraz x = −2 + √m.