PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · MODUŁ 03
Przesunięcie równoległe wzdłuż osi OY
Przesunięcie w pionie zmienia tylko wartości y. To najprostsze przekształcenie.
Wprowadzenie
Wyobraź sobie, że wykres funkcji to sztywna blacha leżąca na stole. Możesz ją podnieść albo opuścić, ale nie możesz jej zginać ani rozciągać. W tym module zajmiemy się przesuwaniem wykresu w górę i w dół. Taki ruch nazywamy przesunięciem równoległym wzdłuż osi OY.
Zacznijmy od najprostszej paraboli: y = x². Jej wierzchołek, czyli najniższy punkt, leży w (0, 0). Popatrz teraz na wzór y = x² + 3. To ta sama parabola, tylko przesunięta o 3 jednostki w GÓRĘ. Jej wierzchołek jest teraz w punkcie (0, 3).
| x | y = x² | y = x² + 3 |
|---|---|---|
| −2 | 4 | 7 |
| −1 | 1 | 4 |
| 0 | 0 | 3 |
| 1 | 1 | 4 |
| 2 | 4 | 7 |
Widzisz regułę? Współrzędna x się nie zmienia, a do każdego y dodajemy 3. Kształt wykresu zostaje taki sam — zmienia się tylko jego położenie.
Uważaj: to nie jest to samo co y = (x − 2)². Minus w nawiasie przesuwa wykres w PRAWO. Liczba dodana na końcu przesuwa wykres w GÓRĘ. To dwa różne ruchy.
Najważniejsza własność
Ogólny zapis przesunięcia w pionie to y = f(x) + q. Litera q mówi, o ile jednostek i w którą stronę przesuniemy wykres.
y = f(x) + q
q > 0 → wykres przesuwa się o q w GÓRĘ.
q < 0 → wykres przesuwa się o |q| w DÓŁ.
Każdy punkt (x, y) przechodzi na (x, y + q).
Plus na końcu wzoru podnosi wykres do góry, a minus go opuszcza. To inaczej niż przy przesunięciu poziomym, gdzie minus w nawiasie daje ruch w prawo. Tutaj nie ma odwracania znaku.
| Wzór | Wartość q | Ruch wykresu | Przykład |
|---|---|---|---|
| y = f(x) + 3 | q = 3 | 3 w górę | y = x² + 3 |
| y = f(x) − 3 | q = −3 | 3 w dół | y = x² − 3 |
| y = f(x) + 0,5 | q = 0,5 | 0,5 w górę | y = x² + 0,5 |
| y = f(x) | q = 0 | bez zmian | y = x² |
W y = f(x) + q dodajemy q do całego wyniku funkcji. Dlatego zmienia się każda współrzędna y, a współrzędna x zostaje taka sama. Nie dodawaj q do iksa — to byłby już ruch poziomy.
Teraz kliknij strzałki w demonstracji. Przycisk ↑ zwiększa q, więc wzór zmienia się z (x)² na (x)² + 1 i wykres jedzie w górę. Przycisk ↓ zmniejsza q i wykres jedzie w dół.
Klikaj przede wszystkim strzałki ↑ i ↓. Dodanie liczby przesuwa wykres w górę, a odjęcie — w dół.
Tekst pod wykresem przypomina zasadę przesunięcia poziomego: „x − 2” daje ruch w prawo. W naszym temacie najważniejsze są jednak przyciski ↑ i ↓, bo one zmieniają q, czyli przesuwają wykres wzdłuż osi OY.
Pionowo: y = f(x) + q. Plus daje ruch w górę, minus w dół. Poziomo: y = f(x − p). Minus w nawiasie daje ruch w prawo, plus w lewo. To dwie różne zasady — nie mieszaj ich.
Ta sama zasada działa dla każdego wykresu. Na przykład y = √x przechodzi w y = √x + 4 (czwórka jest poza pierwiastkiem) przy przesunięciu o 4 w górę, a y = x³ w y = x³ − 2 przy przesunięciu o 2 w dół.
Przykłady
Opisz, jak z wykresu y = x² powstaje wykres y = x² + 3. Podaj położenie wierzchołka.
Wykres bazowy y = x² (przerywany) i przesunięty y = x² + 3 (ciągły). Wierzchołek przechodzi z (0, 0) do (0, 3).
- Porównaj wzór z y = f(x) + q. Tutaj f(x) = x² oraz q = 3.
- q jest dodatnie, więc wykres przesuwa się o 3 jednostki w GÓRĘ.
- Wierzchołek (0, 0) przechodzi na (0, 0 + 3) = (0, 3).
- Sprawdzenie: punkt (2, 4) na starej paraboli przechodzi na (2, 7). Rzeczywiście, 2² + 3 = 4 + 3 = 7.
Odpowiedź: parabola przesunięta o 3 w górę; wierzchołek w (0, 3); kształt bez zmian.
Jak przesunie się wykres y = |x|, gdy przejdziemy do y = |x| − 2?
Wykres bazowy y = |x| (przerywany) i przesunięty y = |x| − 2 (ciągły). Wierzchołek przechodzi z (0, 0) do (0, −2).
- Porównaj wzór z y = f(x) + q. Tutaj f(x) = |x| oraz q = −2.
- q jest ujemne, więc przesuwamy wykres o 2 jednostki w DÓŁ.
- Wierzchołek (0, 0) przechodzi na (0, −2).
- Sprawdzenie: dla x = −3 mamy |−3| − 2 = 3 − 2 = 1. Stary punkt (−3, 3) przesunął się na (−3, 1).
Odpowiedź: wykres y = |x| przesunięty o 2 w dół; wierzchołek w (0, −2).
Opisz przekształcenie wykresu y = x² − 4x we wzór y = x² − 4x + 1. Nie rysuj wykresu — skorzystaj tylko z przesunięcia.
- Porównaj oba wzory. Różnią się tylko liczbą na końcu: zamiast samego x² − 4x mamy x² − 4x + 1, więc q = 1.
- q jest dodatnie, więc cały wykres przesuwa się o 1 jednostkę w GÓRĘ.
- Każdy stary punkt (x, y) przechodzi na (x, y + 1). Na przykład dla x = 0 stare y = 0, a nowe y = 1.
- Stara parabola ma wierzchołek w (2, −4), bo x² − 4x = (x − 2)² − 4. Nowy wierzchołek to (2, −4 + 1) = (2, −3).
Odpowiedź: przesunięcie o 1 w górę; wierzchołek w (2, −3); kształt bez zmian.
Gdy znasz stary wykres, przesunięcie pionowe jest najłatwiejszym przekształceniem: do każdej współrzędnej y dodajesz q. Nie zmieniasz x. W przykładzie 3 wystarczyło dodać 1 do y wierzchołka: −4 + 1 = −3.
Spróbuj samodzielnie
Wykres y = x² przesunięto o 5 jednostek w górę. Podaj wzór nowej funkcji.
Pokaż rozwiązanie
Przesunięcie o 5 w górę to q = 5. Wzór ma postać y = x² + 5. Sprawdzenie: dla x = 0 otrzymujemy 5, czyli wierzchołek jest w (0, 5).Opisz przesunięcie wykresu y = |x|, który po przekształceniu ma wzór y = |x| − 4.
Pokaż rozwiązanie
We wzorze jest −4 na końcu, więc q = −4. Wykres przesunięto o 4 jednostki w dół. Wierzchołek jest w punkcie (0, −4).Uczeń twierdzi: „y = x² − 3 przesuwa wykres y = x² o 3 jednostki w górę”. Znajdź błąd i podaj poprawny opis.
Pokaż rozwiązanie
Na końcu jest −3, więc q = −3. Wykres przesuwa się o 3 jednostki w dół, a nie w górę. Sprawdzenie: dla x = 0 otrzymujemy −3, więc wierzchołek jest w (0, −3).Opisz przekształcenie y = x² − 4x we wzór y = x² − 4x + 5. Podaj położenie wierzchołka nowej paraboli.
Pokaż rozwiązanie
Na końcu dodano 5, więc q = 5 i cały wykres przesuwa się o 5 w górę. Stary wierzchołek to (2, −4), bo x² − 4x = (x − 2)² − 4. Nowy wierzchołek to (2, −4 + 5) = (2, 1).
Wzór y = f(x) + q przesuwa wykres w pionie. Gdy q > 0, wykres idzie w górę; gdy q < 0, w dół. Każdy punkt (x, y) przechodzi na (x, y + q), a kształt wykresu się nie zmienia.