PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · ZESTAW POWTÓRKOWY

Zadania powtórzeniowe — przekształcenia wykresów

30 zadań przekrojowych. Po trzy zadania z każdego modułu — od wektorów po zastosowania wykresów.

01. Wektor w układzie współrzędnych

Wektor opisuje przesunięcie: mówi, o ile zmienia się x, a o ile y. Poćwiczysz odczytywanie współrzędnych wektora i przesuwanie punktów.

1. Dane są punkty A = (−2, 1) i B = (4, 5). Podaj współrzędne wektora AB oraz jego długość.

   Pokaż rozwiązanie

   Od współrzędnych końca odejmujemy współrzędne początku: AB = [4 − (−2), 5 − 1] = [6, 4]. Długość liczymy z twierdzenia Pitagorasa: |AB| = √(6² + 4²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13.

2. Wektor u = [3, −4]. Punkt P = (1, 2) przesuwamy o wektor u. Podaj współrzędne obrazu Q i długość wektora u.

   Pokaż rozwiązanie

   Do współrzędnych punktu dodajemy współrzędne wektora: Q = (1 + 3, 2 + (−4)) = (4, −2). Długość: |u| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

3. Punkt A = (5, −2) jest początkiem wektora AB = [−3, 6]. Podaj współrzędne punktu B oraz środka S odcinka AB. Sprawdź, że wektor AS jest dwa razy krótszy od wektora AB.

   Pokaż rozwiązanie

   Punkt B otrzymujemy, przesuwając A o wektor AB: B = (5 − 3, −2 + 6) = (2, 4). Środek odcinka to średnia współrzędnych końców: S = ((5 + 2)/2, (−2 + 4)/2) = (3,5; 1). Wtedy AS = [3,5 − 5, 1 − (−2)] = [−1,5; 3], czyli AS = ½ · [−3, 6] = ½ · AB. Rzeczywiście jest dwa razy krótszy.

02. Przesunięcie wzdłuż osi OX

Przesunięcie wykresu wzdłuż osi OX zmienia argument: y = f(x − p) to wykres przesunięty o p jednostek w prawo. Uważaj na znak w nawiasie.

1. Dana jest funkcja f(x) = x². Niech g(x) = f(x − 3). Podaj wzór funkcji g, współrzędne wierzchołka jej wykresu i oblicz g(4).

   Pokaż rozwiązanie

   Podstawiamy x − 3 w miejsce x: g(x) = (x − 3)². Wierzchołek paraboli y = x², czyli punkt (0, 0), przesuwa się o 3 w prawo, więc nowy wierzchołek to (3, 0). Wartość: g(4) = (4 − 3)² = 1.

2. Wykres funkcji f(x) = 2x + 1 przesunięto o 4 jednostki w lewo. Uczeń twierdzi, że otrzyma funkcję h(x) = 2x − 3, bo „od wzoru odejmujemy 4”. Wskaż błąd, podaj poprawny wzór h i jej miejsce zerowe.

   Pokaż rozwiązanie

   Błąd polega na pomyleniu przesunięcia w poziomie z przesunięciem w pionie. Odjęcie 4 od całego wzoru obniżyłoby wykres o 4, a nie przesunęło go w lewo. Przesunięcie o 4 w lewo to podstawienie x + 4: h(x) = f(x + 4) = 2(x + 4) + 1 = 2x + 9. Miejsce zerowe: 2x + 9 = 0, więc x = −4,5. Sprawdzenie: punkt (1, 3) należał do wykresu f, a po przesunięciu jest w (−3, 3); h(−3) = −6 + 9 = 3.

3. Funkcja f(x) = x² − 4x + 1 ma wierzchołek w punkcie (2, −3). Wykres f przesunięto o 3 jednostki w prawo. Podaj wzór g w postaci kanonicznej, współrzędne wierzchołka i miejsca zerowe g.

   Pokaż rozwiązanie

   Najpierw postać kanoniczna f: f(x) = (x − 2)² − 3. Przesunięcie o 3 w prawo: g(x) = f(x − 3) = (x − 5)² − 3. Wierzchołek przesuwa się z (2, −3) na (5, −3). Miejsca zerowe: (x − 5)² − 3 = 0, czyli (x − 5)² = 3, więc x = 5 − √3 lub x = 5 + √3.

03. Przesunięcie wzdłuż osi OY

Przesunięcie wzdłuż osi OY zmienia wartość funkcji: y = f(x) + q to wykres przesunięty o q jednostek w górę, gdy q > 0. Współrzędna x każdego punktu zostaje wtedy bez zmian.

1. Dana jest funkcja f(x) = x². Niech g(x) = f(x) + 2. Podaj wzór g, współrzędne wierzchołka jej wykresu i oblicz g(3).

   Pokaż rozwiązanie

   Dodajemy 2 do wartości funkcji: g(x) = x² + 2. Wierzchołek (0, 0) przesuwa się o 2 w górę, więc nowy wierzchołek to (0, 2). Wartość: g(3) = 3² + 2 = 11.

2. Wykres funkcji f(x) = 2x − 1 przesunięto o 3 jednostki w dół. Podaj wzór otrzymanej funkcji h, jej miejsce zerowe i wyjaśnij, co stało się z punktem przecięcia wykresu z osią OY.

   Pokaż rozwiązanie

   Przesunięcie o 3 w dół to odjęcie 3 od wartości: h(x) = 2x − 1 − 3 = 2x − 4. Miejsce zerowe: 2x − 4 = 0, więc x = 2. Punkt przecięcia z osią OY to (0, −1); po przesunięciu jest to (0, −4), czyli obniżył się o 3.

3. Funkcja f(x) = x² − 6x + 5 ma wartość najmniejszą równą −4. O ile jednostek w górę trzeba przesunąć jej wykres, aby był styczny do osi OX? Podaj wzór nowej funkcji i współrzędne punktu styczności.

   Pokaż rozwiązanie

   Zapisujemy f w postaci kanonicznej: f(x) = (x − 3)² − 4. Najniższy punkt wykresu to (3, −4). Aby dotknąć osi OX, trzeba go podnieść o 4 jednostki. Nowa funkcja: g(x) = (x − 3)² − 4 + 4 = (x − 3)². Jest styczna do osi OX w punkcie (3, 0).

04. Symetria osiowa względem OX i OY

Symetria względem osi OX zmienia znak drugiej współrzędnej, a względem osi OY — znak pierwszej. Wzorom odpowiadają przekształcenia y = −f(x) oraz y = f(−x).

1. Punkt A = (3, −5) odbito symetrycznie względem osi OX, a następnie względem osi OY. Podaj współrzędne obu obrazów.

   Pokaż rozwiązanie

   Symetria względem OX zmienia znak y: A₁ = (3, 5). Symetria względem OY zmienia znak x: A₂ = (−3, 5). Gdyby wykonać oba odbicia, otrzymamy ten sam wynik co w symetrii środkowej względem (0, 0).

2. Dana jest funkcja f(x) = x² − 2x. Podaj wzory funkcji g(x) = −f(x) oraz h(x) = f(−x), a następnie współrzędne wierzchołków ich wykresów.

   Pokaż rozwiązanie

   Postać kanoniczna f: f(x) = (x − 1)² − 1, więc wierzchołek to (1, −1). Dla g: g(x) = −(x² − 2x) = −x² + 2x = −(x − 1)² + 1, wierzchołek (1, 1) — odbicie względem OX. Dla h: h(x) = (−x)² − 2(−x) = x² + 2x = (x + 1)² − 1, wierzchołek (−1, −1) — odbicie względem OY.

3. Wykres funkcji f(x) = x² − 4x + 3 odbito symetrycznie względem osi OX i otrzymano wykres funkcji g. Podaj wzór g, współrzędne jej wierzchołka i miejsca zerowe. Wyjaśnij, dlaczego miejsca zerowe się nie zmieniły.

   Pokaż rozwiązanie

   Mamy g(x) = −f(x) = −(x² − 4x + 3) = −x² + 4x − 3. Postać kanoniczna f to (x − 2)² − 1, więc wierzchołek f to (2, −1), a po odbiciu względem OX — (2, 1). Miejsca zerowe f: x = 1 i x = 3. Sprawdzamy g(1) = −1 + 4 − 3 = 0 i g(3) = −9 + 12 − 3 = 0. Miejsca zerowe nie zmieniają się, bo punkt leżący na osi OX ma y = 0, a symetria względem OX przeprowadza 0 na 0.

05. Symetria środkowa względem (0,0)

Symetria środkowa względem początku układu to obrót o 180°: punkt (x, y) przechodzi na (−x, −y). Wzór nowej funkcji to y = −f(−x).

1. Punkt A = (4, −7) odbito symetrycznie względem punktu (0, 0). Podaj współrzędne obrazu A′ i sprawdź, że środek odcinka AA′ to (0, 0).

   Pokaż rozwiązanie

   Zmieniamy znaki obu współrzędnych: A′ = (−4, 7). Środek odcinka AA′: ((4 + (−4))/2, (−7 + 7)/2) = (0, 0). Zgadza się z punktem symetrii.

2. Dana jest funkcja f(x) = x² + 2x. Podaj wzór funkcji g(x) = −f(−x), współrzędne wierzchołka jej wykresu oraz miejsca zerowe f i g.

   Pokaż rozwiązanie

   Postać kanoniczna f: f(x) = (x + 1)² − 1, wierzchołek (−1, −1). Wtedy g(x) = −((−x)² + 2(−x)) = −(x² − 2x) = −x² + 2x = −(x − 1)² + 1, więc wierzchołek g to (1, 1). Miejsca zerowe f: x = 0 i x = −2. Miejsca zerowe g: x = 0 i x = 2.

3. Funkcja f(x) = x² − 4x + 5. Sprawdź, że punkt P = (1, 2) należy do jej wykresu. Podaj obraz P′ w symetrii środkowej względem (0, 0) oraz wzór funkcji g, której wykres jest obrazem wykresu f. Sprawdź, że P′ należy do wykresu g.

   Pokaż rozwiązanie

   f(1) = 1 − 4 + 5 = 2, więc P należy do wykresu. Obraz: P′ = (−1, −2). Wzór: g(x) = −f(−x) = −((−x)² − 4(−x) + 5) = −(x² + 4x + 5) = −x² − 4x − 5. Sprawdzenie: g(−1) = −1 + 4 − 5 = −2, czyli P′ leży na wykresie g. Wierzchołek f to (2, 1), a g to (−2, −1).

06. Wykresy y = |f(x)| oraz y = f(|x|)

Wartość bezwzględna pozwala odbić część wykresu spod osi OX w górę albo zastąpić lewą stronę wykresu odbiciem prawej. To dwa różne przekształcenia — warto je porównać na jednym przykładzie.

1. Dana jest funkcja f(x) = x − 2. Zapisz wzór funkcji y = |f(x)| bez wartości bezwzględnej osobno dla x < 2 i dla x ≥ 2. Podaj miejsce zerowe i oblicz wartość dla x = 0.

   Pokaż rozwiązanie

   Dla x ≥ 2 wyrażenie x − 2 jest nieujemne, więc |x − 2| = x − 2. Dla x < 2 jest ujemne, więc |x − 2| = −(x − 2) = −x + 2. Miejsce zerowe: x = 2. Wartość: y(0) = |0 − 2| = 2.

2. Dana jest funkcja f(x) = x − 3. Naszkicuj w jednym układzie współrzędnych wykresy y = |f(x)| oraz y = f(|x|). Czym się różnią? Podaj miejsca zerowe obu funkcji.

   Pokaż rozwiązanie

   Pierwszy wykres to y = |x − 3|: litera V o wierzchołku (3, 0), miejsca zerowe tylko x = 3. Drugi to y = |x| − 3: również litera V, ale o wierzchołku (0, −3), z miejscami zerowymi x = −3 i x = 3. W pierwszym przypadku odbiliśmy część wykresu poniżej osi OX; w drugim lewa strona wykresu jest odbiciem prawej. Wartości y = f(|x|) mogą być ujemne, a y = |f(x)| — nigdy.

3. Dana jest funkcja f(x) = x² − 2x − 3. Naszkicuj wykres y = |f(x)| i ustal, ile rozwiązań ma równanie |f(x)| = 2.

   Pokaż rozwiązanie

   Zapisujemy f(x) = (x − 1)² − 4. Parabola ma wierzchołek (1, −4) i miejsca zerowe x = −1, x = 3; część między miejscami zerowymi leży pod osią OX i po odbiciu w górę tworzy „garby” wykresu |f|. Równanie |f(x)| = 2 dzielimy na dwa przypadki: f(x) = 2 lub f(x) = −2. Dla f(x) = 2: (x − 1)² = 6, czyli x = 1 ± √6 — dwa rozwiązania. Dla f(x) = −2: (x − 1)² = 2, czyli x = 1 ± √2 — dwa rozwiązania. Razem są 4 rozwiązania.

07. Wykresy y = k·f(x) oraz y = f(kx)

Mnożenie wartości funkcji przez k rozciąga lub ściska wykres w pionie, a zamiana x na kx działa w poziomie. Gdy k < 0, dochodzi jeszcze odbicie względem osi.

1. Dana jest funkcja f(x) = x². Niech g(x) = 3·f(x) oraz h(x) = f(2x). Podaj wzory g i h, oblicz ich wartości dla x = 2. Punkt (2, 4) należy do wykresu f — gdzie znajdą się jego obrazy?

   Pokaż rozwiązanie

   g(x) = 3x², h(x) = (2x)² = 4x². Wartości: g(2) = 3 · 4 = 12, h(2) = 4 · 4 = 16. Punkt (2, 4) przechodzi na (2, 12) na wykresie g (x bez zmian, y razy 3) oraz na (2, 16) na wykresie h (x bez zmian, bo podstawiamy 2x, a y razy 4).

2. Dana jest funkcja f(x) = |x|. Niech g(x) = −2·f(x) oraz h(x) = f(½x). Podaj wzory, opisz przekształcenia i oblicz wartości w x = 4.

   Pokaż rozwiązanie

   g(x) = −2|x|: wykres f odbito względem osi OX i rozciągnięto w pionie dwa razy. h(x) = |½x| = ½|x|: wykres f rozciągnięto w poziomie dwa razy. Wartości: f(4) = 4, g(4) = −8, h(4) = 2. Wierzchołek wszystkich trzech wykresów pozostaje w (0, 0).

3. Dana jest funkcja f(x) = x² − 6x + 5. Podaj wzór g(x) = f(3x), współrzędne wierzchołka i miejsca zerowe g. Jak położenie tych punktów ma się do wykresu f?

   Pokaż rozwiązanie

   Postać kanoniczna f: f(x) = (x − 3)² − 4, więc wierzchołek f to (3, −4), a miejsca zerowe to x = 1 i x = 5. Wtedy g(x) = ((3x) − 3)² − 4 = (3x − 3)² − 4 = 9(x − 1)² − 4. Wierzchołek g to (1, −4). Miejsca zerowe: 9(x − 1)² = 4, czyli x − 1 = ±2/3, więc x = 1/3 lub x = 5/3. Współrzędne x tych punktów podzieliły się przez 3 (wykres ścisnął się trzykrotnie w poziomie), a współrzędne y zostały takie same.

08. Szkicowanie wykresów funkcji

Szkic zaczynamy od funkcji podstawowej, a potem wykonujemy przekształcenia w ustalonej kolejności. Najpierw zaznaczamy punkty charakterystyczne: wierzchołek i miejsca zerowe.

1. Naszkicuj wykres funkcji y = −(x + 2)² + 3. Opisz przekształcenia wykresu y = x², podaj wierzchołek, kierunek ramion i miejsca zerowe.

   Pokaż rozwiązanie

   Zaczynamy od y = x². Przesuwamy wykres o 2 w lewo: y = (x + 2)², następnie odbijamy względem osi OX: y = −(x + 2)², i przesuwamy o 3 w górę: y = −(x + 2)² + 3. Wierzchołek: (−2, 3), ramiona skierowane w dół. Miejsca zerowe: −(x + 2)² + 3 = 0, czyli (x + 2)² = 3, więc x = −2 − √3 lub x = −2 + √3.

2. Naszkicuj wykres funkcji y = |x − 1| − 2. Podaj wierzchołek i miejsca zerowe oraz wyjaśnij, z jakiej funkcji podstawowej powstaje ten wykres.

   Pokaż rozwiązanie

   Wykres powstaje z y = |x| przez przesunięcie o 1 w prawo i o 2 w dół. Wierzchołek: (1, −2), ramiona skierowane w górę. Miejsca zerowe: |x − 1| − 2 = 0, czyli |x − 1| = 2, więc x − 1 = 2 lub x − 1 = −2. Stąd x = 3 lub x = −1.

3. Naszkicuj wykres funkcji y = −2|x + 1| + 4. Opisz kolejność przekształceń, podaj wierzchołek, miejsca zerowe i przedziały monotoniczności.

   Pokaż rozwiązanie

   Z y = |x|: przesunięcie o 1 w lewo daje y = |x + 1|, pomnożenie przez −2 odbija wykres względem OX i rozciąga go dwa razy w pionie, a dodanie 4 przesuwa go o 4 w górę. Wierzchołek: (−1, 4), ramiona w dół. Miejsca zerowe: −2|x + 1| + 4 = 0, czyli |x + 1| = 2, więc x = 1 lub x = −3. Funkcja rośnie dla x ≤ −1 i maleje dla x ≥ −1.

09. Wykresy w równaniach i nierównościach

Wykres pozwala rozwiązać równanie lub nierówność bez długich rachunków: szukamy punktów przecięcia albo miejsc, w których jedna funkcja jest wyżej od drugiej.

1. Rozwiąż graficznie równanie x² = 2x + 3. Podaj współrzędne punktów przecięcia wykresów y = x² i y = 2x + 3.

   Pokaż rozwiązanie

   Przenosimy wszystko na jedną stronę: x² − 2x − 3 = 0. Rozkładamy: (x + 1)(x − 3) = 0, więc x = −1 lub x = 3. Współrzędne y obliczamy z prostszego wzoru y = 2x + 3: dla x = −1 mamy y = 1, dla x = 3 mamy y = 9. Punkty przecięcia to (−1, 1) i (3, 9).

2. Rozwiąż nierówność x² − 4x < 0, korzystając z wykresu funkcji f(x) = x² − 4x. Podaj miejsca zerowe i przedziały, w których wykres leży nad i pod osią OX.

   Pokaż rozwiązanie

   Miejsca zerowe: x(x − 4) = 0, więc x = 0 lub x = 4. Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc między miejscami zerowymi leży pod osią OX, a poza nimi — nad osią. Szukamy wartości ujemnych: x ∈ (0, 4).

3. Naszkicuj wykres y = |x² − 4| i ustal, ile rozwiązań ma równanie |x² − 4| = m w zależności od liczby m.

   Pokaż rozwiązanie

   Wykres y = x² − 4 ma wierzchołek (0, −4) i miejsca zerowe x = −2, x = 2. Część między miejscami zerowymi odbijamy w górę, otrzymując wykres |x² − 4| z lokalnym maksimum 4 w x = 0 i dwoma „dotknięciami” osi OX w x = ±2. Liczba rozwiązań: dla m < 0 — 0; dla m = 0 — 2 (x = ±2); dla 0 < m < 4 — 4; dla m = 4 — 3 (x = 0 oraz x = ±2√2); dla m > 4 — 2 (x = ±√(m + 4)).

10. Test powtórzeniowy

To powtórzenie łączy przesunięcia, symetrie i powinowactwa. Sprawdź, czy potrafisz przejść od wzoru do opisu wykresu i odwrotnie.

1. Wykres funkcji f(x) = x² przesunięto o 3 jednostki w prawo i o 1 jednostkę w dół. Podaj wzór nowej funkcji g, współrzędne wierzchołka i miejsca zerowe.

   Pokaż rozwiązanie

   Przesunięcie o 3 w prawo: y = (x − 3)². Przesunięcie o 1 w dół: g(x) = (x − 3)² − 1. Wierzchołek: (3, −1). Miejsca zerowe: (x − 3)² = 1, więc x − 3 = 1 lub x − 3 = −1, czyli x = 4 lub x = 2.

2. Dana jest funkcja f(x) = x² − 2x. Wykres f przesunięto o 2 jednostki w prawo, odbito symetrycznie względem osi OX i przesunięto o 3 jednostki w górę. Otrzymano funkcję g. Opisz przekształcenia, podaj wzór g w postaci kanonicznej, współrzędne wierzchołka i miejsca zerowe.

   Pokaż rozwiązanie

   Postać kanoniczna f: f(x) = (x − 1)² − 1, wierzchołek (1, −1). Przesunięcie o 2 w prawo: y = f(x − 2) = (x − 3)² − 1, wierzchołek (3, −1). Odbicie względem OX: y = −[(x − 3)² − 1] = −(x − 3)² + 1, wierzchołek (3, 1). Przesunięcie o 3 w górę: g(x) = −(x − 3)² + 1 + 3 = −(x − 3)² + 4, wierzchołek (3, 4). Miejsca zerowe: (x − 3)² = 4, więc x = 1 lub x = 5.

3. Dana jest funkcja f(x) = x² − 2x + 3. Zapisz jej wzór w postaci kanonicznej i podaj zbiór wartości. Dla jakich wartości parametru m równanie f(x) = m ma dwa rozwiązania?

   Pokaż rozwiązanie

   Uzupełniamy do kwadratu: x² − 2x + 3 = (x − 1)² − 1 + 3 = (x − 1)² + 2. Wierzchołek to (1, 2), ramiona paraboli są skierowane w górę, więc najmniejsza wartość wynosi 2. Zbiór wartości: [2, ∞). Prosta y = m przecina parabolę w dwóch punktach tylko wtedy, gdy leży powyżej wierzchołka, czyli dla m > 2. Dla m = 2 jest jedno rozwiązanie (x = 1), a dla m < 2 — brak rozwiązań.