PRZEKSZTAŁCENIA WYKRESÓW · MODUŁ 08
Szkicowanie wykresów wybranych funkcji
Teraz łączymy wszystko: od wzoru do szkicu wykresu.
Wprowadzenie
Nie każdy wykres trzeba rysować z tabelki z dziesiątkami punktów. Wystarczy znać kształt funkcji bazowej i kilka charakterystycznych punktów: wierzchołek, miejsca zerowe, punkt przecięcia z osią OY.
W tym module szkicujemy głównie y = x² i y = |x|, a opcjonalnie y = 1/x. Zobaczysz, jak z prostego wykresu zrobić bardziej złożony — krok po kroku.
Najpierw to, co jest „w środku” przy x: przesunięcie poziome, odbicie od osi OY, zwężenie lub rozszerzenie. Potem to, co jest na zewnątrz: rozciąganie pionowe, odbicie od osi OX, przesunięcie pionowe.
Dlaczego? Bo wzór y = a · f(k(x − p)) + q czyta się od środka: najpierw zmieniamy argument, potem wynik. Jeśli pomieszasz kolejność, wykres może wylądować w złym miejscu.
Najważniejsza własność
Każde przekształcenie ma swoje miejsce we wzorze. Zapiszmy je razem:
y = a · f(k(x − p)) + q
p — przesunięcie poziome: x − p to w prawo o p, x + p to w lewo o p.
k — poziome zwężenie (|k| > 1) lub rozszerzenie (0 < |k| < 1); k < 0 odbija od OY.
a — pionowe rozciągnięcie (|a| > 1) lub ściśnięcie (0 < |a| < 1); a < 0 odbija od OX.
q — przesunięcie pionowe: +q w górę, −q w dół.
Zanim zaczniesz rysować, uporządkuj wzór. Na przykład y = f(2x − 6) zapisz jako y = f(2(x − 3)). Wtedy widzisz, że przesunięcie wynosi 3 w prawo, a nie 6.
| Funkcja bazowa | Kształt | Charakterystyczne punkty |
|---|---|---|
| y = x² | parabola, ramiona w górę | wierzchołek (0, 0); punkty (−1, 1), (1, 1), (2, 4) |
| y = |x| | łamana w kształcie litery V | wierzchołek (0, 0); punkty (−1, 1), (1, 1), (2, 2) |
| y = 1/x (dla chętnych) | hiperbola, dwie gałęzie | asymptoty x = 0 i y = 0; punkty (1, 1), (−1, −1) |
Jak odczytać wierzchołek?
- y = a(x − p)² + q → wierzchołek (p, q).
- y = a|x − p| + q → wierzchołek (p, q).
- y = a/(x − p) + q → asymptoty x = p i y = q (dla chętnych; dziedzina x ≠ p).
Dla chętnych: wykres y = 1/(x − 2) + 3 to hiperbola y = 1/x przesunięta o 2 w prawo i 3 w górę. Ma asymptoty x = 2 i y = 3, czyli linie, do których wykres się zbliża, ale ich nie przecina.
Znak przy p jest odwrotny do kierunku: x − 2 → w prawo o 2; x + 1 = x − (−1) → w lewo o 1. Znak przy q działa wprost: +3 → w górę o 3; −4 → w dół o 4.
Wierzchołek to „uchwyt” wykresu. Przesuwasz go najpierw w poziomie, potem w pionie. Reszta wykresu idzie za nim.
Zobacz to w demie. Suwak a rozciąga lub odbija ramiona wykresu w pionie (wierzchołek zostaje na swoim miejscu). Suwak k zwęża lub rozszerza wykres w poziomie. Strzałki zmieniają p i q: ← → w poziomie, ↑ ↓ w pionie. Wzór pod wykresem zmienia się razem z ustawieniami.
Zmień kilka parametrów naraz i sprawdź, czy umiesz odczytać wzór.
W demie startujesz od y = 2(x − 1)² + 2. Kliknij ↑ raz, żeby dostać y = 2(x − 1)² + 3. Odczytaj wierzchołek: to (1, 3). Potem zmień a na 1 — parabola zrobi się szersza. Na koniec ustaw a = −1: ramiona skierują się w dół, a wierzchołek zostanie w tym samym miejscu.
Przy y = 2(x + 1)² − 4 nie zaczynaj od „−4”. Najpierw przesuń wykres o 1 w lewo (x + 1), potem rozciągnij go pionowo dwa razy, a na końcu przesuń o 4 w dół. Gdybyś najpierw odjął 4, a potem mnożył przez 2, dostałbyś y = 2(x + 1)² − 8 — inny wykres.
Przykłady
Naszkicuj wykres y = (x − 2)² + 1. Podaj wierzchołek, punkt przecięcia z osią OY i zbiór wartości.
Wykres bazowy y = x² (przerywany) i y = (x − 2)² + 1 (ciągły). Wierzchołek przesunął się z (0, 0) do (2, 1).
- Zacznij od y = x². Wzór ma postać y = a(x − p)² + q, gdzie a = 1, p = 2, q = 1. Wierzchołek y = x² jest w (0, 0), a ramiona przechodzą przez (−1, 1), (1, 1) i (2, 4).
- Wyrażenie x − 2 przesuwa wykres o 2 w prawo. Wierzchołek przechodzi na (2, 0).
- Dodanie 1 na zewnątrz przesuwa cały wykres o 1 w górę. Wierzchołek trafia do (2, 1).
- Punkty kontrolne: dla x = 1 mamy (1 − 2)² + 1 = 2, dla x = 3 też 2. Dla x = 0 mamy 4 + 1 = 5, więc wykres przecina oś OY w (0, 5).
- Parabola ma ramiona w górę, a najniższy punkt to wierzchołek (2, 1).
Odpowiedź: Wierzchołek (2, 1), punkt przecięcia z osią OY to (0, 5), zbiór wartości [1, ∞). Wykres nie ma miejsc zerowych, bo cały leży nad osią OX.
Naszkicuj wykres y = −|x + 1| + 3. Podaj wierzchołek, miejsca zerowe i zbiór wartości.
Wykres bazowy y = |x| (przerywany) i y = −|x + 1| + 3 (ciągły). Wierzchołek to (−1, 3), ramiona skierowane w dół.
- Zacznij od y = |x|. Wzór ma postać y = a|x − p| + q, gdzie a = −1, p = −1, q = 3. Wierzchołek y = |x| to (0, 0), a ramiona idą w górę.
- Zapisz x + 1 jako x − (−1). To przesunięcie o 1 w lewo. Wierzchołek przechodzi na (−1, 0).
- Minus przed wartością bezwzględną odbija wykres względem osi OX. Ramiona skierują się w dół, a wierzchołek zostaje w (−1, 0).
- Dodanie 3 przesuwa cały wykres o 3 w górę. Wierzchołek trafia do (−1, 3).
- Punkty kontrolne: dla x = 0 mamy −|1| + 3 = 2, dla x = −2 też 2.
- Miejsca zerowe: −|x + 1| + 3 = 0, czyli |x + 1| = 3. Stąd x + 1 = 3 lub x + 1 = −3, więc x = 2 lub x = −4.
Odpowiedź: Wierzchołek (−1, 3), ramiona w dół, miejsca zerowe x = −4 i x = 2, zbiór wartości (−∞, 3].
Naszkicuj wykres y = 2(x + 1)² − 4. Podaj wierzchołek, miejsca zerowe i zbiór wartości.
Wykres bazowy y = x² (przerywany) i y = 2(x + 1)² − 4 (ciągły). Wierzchołek to (−1, −4), ramiona są bardziej strome.
- Zacznij od y = x². Wzór ma postać y = a(x − p)² + q, gdzie a = 2, p = −1, q = −4. Wierzchołek y = x² jest w (0, 0).
- x + 1 = x − (−1), więc przesuwamy wykres o 1 w lewo. Wierzchołek przechodzi na (−1, 0).
- Mnożnik 2 przed funkcją rozciąga wykres pionowo dwa razy. Wierzchołek zostaje w (−1, 0), ale ramiona stają się bardziej strome.
- Odjęcie 4 przesuwa cały wykres o 4 w dół. Wierzchołek trafia do (−1, −4).
- Punkty kontrolne: dla x = 0 mamy 2 · 1² − 4 = −2, dla x = −2 też −2. Wykres przecina oś OY w (0, −2).
- Miejsca zerowe: 2(x + 1)² − 4 = 0, czyli (x + 1)² = 2. Stąd x + 1 = √2 lub x + 1 = −√2, więc x = −1 + √2 lub x = −1 − √2.
Odpowiedź: Wierzchołek (−1, −4), ramiona w górę, miejsca zerowe x = −1 − √2 i x = −1 + √2, zbiór wartości [−4, ∞).
- y = f(x − 2) to przesunięcie w prawo, a nie w lewo.
- y = f(x) + 2 to przesunięcie w górę, a nie w prawo.
- y = 2f(x) rozciąga wykres w pionie, ale y = f(2x) zwęża go w poziomie.
- Przy y = a(x − p)² + q najpierw rozciągamy lub odbijamy, a dopiero na końcu przesuwamy w pionie o q.
- y = (−x + 1)² to (x − 1)², a nie (x + 1)² — minus znika pod kwadratem.
Spróbuj samodzielnie
Zadania są coraz trudniejsze. Ostatnie ma układ typowy dla matury: kilka poleceń do jednego wzoru.
Naszkicuj wykres y = (x + 3)² − 2. Podaj wierzchołek, zbiór wartości i miejsca zerowe.
Pokaż rozwiązanie
Zaczynamy od y = x². x + 3 = x − (−3), więc przesuwamy wykres o 3 w lewo. Wierzchołek (0, 0) przechodzi na (−3, 0). Następnie −2 przesuwa wykres o 2 w dół, więc wierzchołek trafia do (−3, −2). Ramiona są w górę, więc zbiór wartości to [−2, ∞). Miejsca zerowe: (x + 3)² − 2 = 0, czyli (x + 3)² = 2. Stąd x + 3 = ±√2, więc x = −3 − √2 lub x = −3 + √2. Punkt przecięcia z osią OY: dla x = 0 mamy 3² − 2 = 7, czyli (0, 7).Podaj wzór paraboli, która ma wierzchołek (−1, 2) i przechodzi przez punkt (1, −2).
Pokaż rozwiązanie
Parabola ma postać y = a(x − p)² + q. Wierzchołek (−1, 2) daje p = −1 i q = 2, więc y = a(x + 1)² + 2. Podstawiamy punkt (1, −2): −2 = a(1 + 1)² + 2, czyli −2 = 4a + 2. Stąd 4a = −4, a = −1. Wzór to y = −(x + 1)² + 2. Współczynnik a jest ujemny, więc ramiona są skierowane w dół, a najwyższy punkt to wierzchołek (−1, 2).Uczeń szkicuje y = 2(x − 1)² + 3 tak: najpierw dodaje 3, potem mnoży całość przez 2 i otrzymuje y = 2((x − 1)² + 3) = 2(x − 1)² + 6. Wskaż błąd w kolejności i podaj poprawny wierzchołek.
Pokaż rozwiązanie
Mnożnik 2 stoi przed funkcją, więc mnoży tylko wartość (x − 1)², a nie całe wyrażenie razem z dodanym 3. Najpierw rozciągamy wykres pionowo dwa razy, a dopiero potem przesuwamy go o 3 w górę. Poprawny wzór to y = 2(x − 1)² + 3, a wierzchołek to (1, 3). Uczeń otrzymał wierzchołek (1, 6), czyli przesunął wykres o 3 za dużo. Dobra kolejność: wnętrze (x − 1), potem mnożnik 2, na końcu +3.Dana jest funkcja f(x) = x² − 4x + 3. a) Zapisz ją w postaci kanonicznej. b) Naszkicuj wykres g(x) = f(x − 1) + 2. c) Podaj wierzchołek, miejsca zerowe i zbiór wartości funkcji g.
Pokaż rozwiązanie
a) f(x) = x² − 4x + 3 = (x − 2)² − 1. Wierzchołek f to (2, −1). b) g(x) = f(x − 1) + 2 = ((x − 1) − 2)² − 1 + 2 = (x − 3)² + 1. To parabola y = x² przesunięta o 3 w prawo i 1 w górę. c) Wierzchołek g to (3, 1). Zbiór wartości to [1, ∞), bo ramiona są w górę, a najmniejsza wartość wynosi 1. Miejsc zerowych nie ma: (x − 3)² + 1 > 0 dla każdego x. Punkty kontrolne: g(2) = 2 i g(4) = 2. Punkt przecięcia z osią OY: g(0) = 9 + 1 = 10, czyli (0, 10).